محل لوگو

نظرسنجی سایت

چگونه با وب‌سایت فرانفت آشنا شدید؟

اشتراک در خبرنامه

جهت عضویت در خبرنامه لطفا ایمیل خود را ثبت نمائید

Captcha

آمار بازدید

  • بازدید امروز : 252
  • بازدید دیروز : 346
  • بازدید کل : 353050

ماکزیمم و مینیمم تابع به زبان ساده


ماکزیمم و مینیمم تابع به زبان ساده

در مطالب گذشته فرانفت مبحث مشتق را معرفی کردیم. یکی از کاربردهای این ابزار یافتن بیشترین و کم‌ترین مقدار توابع است. بنابراین این سوال را می‌توان مطرح کرد که بیشترین (ماکزیمم) و کم‌ترین (مینیمم) مقدار یک تابع در بازه‌ای مشخص چقدر است؟

چگونه ماکزیمم و مینیمم نسبی یک تابع را بیابیم؟

ماکزیمم نسبی یک تابع در حقیقت مختصاتی است که در آن، تابع نسبت به نقاط اطراف خود به کمترین مقدارش رسیده. هم‌چنین مینیمم نسبی تابع، نقطه‌ای است که در آن تابع دارای کمترین مقدار، نسبت به نقاط نزدیک خود باشد. در شکل زیر این نقاط نشان داده شده‌اند. در حالت کلی به نقطه‌ای که ماکزیمم یا مینیمم باشد، اکسترمم نیز گفته می‌شود.

ماکزیمم و مینیمم

در تابعی که به صورتی یکنواخت تغییر می‌کند، مقادیر ماکزیمم و مینیمم آن، نقاطی هستند که شیب تابع مفروض در آن‌ها برابر با صفر باشد. از آنجایی که شیب یک تابع، برابر با مشتق آن است، بنابراین می‌توان گفت:

ماکزیمم و مینیمم نسبی یک تابع، نقطه‌ای است که مشتق تابع در آن نقطه برابر با صفر باشد. جهت درک بهتر به مثال زیر توجه کنید.

مثال ۱

مطابق با شکل زیر یک توپ با زاویه‌ای نسبت به افق به سمت بالا پرتاب می‌شود. با توجه به ابزار فیزیکی موجود، ارتفاع توپ در هر لحظه را می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

رابطه ۱

با این فرضیات، به نظر شما توپ تا چه ارتفاعی بالا می‌رود؟

max-min

 

بیشترین ارتفاع در این مسئله برابر با ماکزیمم مقدار تابع h است. جهت بدست آوردن ماکزیمم تابع، در ابتدا مشتق h نسبت به t را می‌گیریم. این مشتق نسبت به زمان برابر است با:

Maximum-minimum-

با صفر قرار دادن آن و بدست آوردن t، زمانی که در آن ارتفاع به بیشترین مقدار خود رسیده، بدست می‌آید. با صفر قرار دادن مشتق h نسبت به زمان داریم:

Maximum-minimum

در نتیجه شیب تابع h در لحظه t=1.4 ثانیه برابر با صفر است. ارتفاع متناظر با این زمان نیز با جایگذاری ۱.۴ در رابطه ۱ بدست می‌آید. در نتیجه (h(1.4 برابر است با:

Maximum-minimum

بنابراین بیشترین ارتفاع توپ برابر با ۱۲.۸ متر است که در زمان t=۱.۴ ثانیه رخ می‌دهد.

ماکزیمم یا مینیمم؟

در مثال ۱ از روی نمودار متوجه شدیم که نقطه بدست آمده، ماکزیمم است؛ اما بایستی توجه داشته باشید که شیب نمودار در نقطه مینیمم نیز برابر با صفر است. جهت مشخص کردن این‌که یک نقطه ماکزیمم یا مینیمم است:

  • مشتق دوم تابع را در نقطه مفروض بدست آورید.
  • اگر مشتق دوم بدست آمده مثبت بود، نقطه مفروض، مینیمم تابع است.
  • اگر مشتق دوم منفی بود، نقطه بدست آمده ماکزیمم است.

برای نمونه مشتق دوم تابع h در مثال ۱ برابر است با:

h” = -10

در نتیجه مشتق دوم تابع h همواره منفی است. در نتیجه این مقدار در زمان t=1.4 نیز کمتر از صفر است؛ بنابراین نقطه مفروض ماکزیمم h محسوب می‌شود.

مثال ۲

ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را بیابید.

Maximum-minimum

مشتق (یا همان شیب) تابع y برابر است با:

Maximum-minimum

رابطه بالا از مرتبه دوم است بنابراین دارای ۲ ریشه خواهد بود. در نتیجه با حل آن، ریشه‌های x برابر هستند با:

Maximum-minimum

به نظر شما آیا این دو نقطه ماکزیمم، مینیمم و یا هردو هستند؟ برای پاسخ به این سوال در ابتدا مشتق دوم تابع y را مطابق با رابطه زیر می‌یابیم.

Maximum-minimum

مقدار این تابع در دو نقطه بدست آمده برابر است با:

Maximum-minimum

Maximum-minimum

شکل زیر تابع y را نشان می‌دهد. همان‌طور که در آن می‌بینید در x=13

مقدار تابع مینیمم و در نقطه x=35

، مقدار تابع ماکزیمم است.

max

توجه داشته باشید که این روش تنها در حالتی استفاده می‌شود که تابع در نقطه مورد بررسی، مشتق پذیر باشد. برای نمونه تابع |y=|x را در نظر بگیرید. همان‌طور که در شکل زیر نیز نشان داده شده، این تابع در x=0 مشتق‌پذیر نیست، در نتیجه نمی‌توان با استفاده از روش بیان شده در این مطلب ماکزیمم و یا مینیمم بودن نقطه x=0 را بررسی کرد.

function-absolute

منبع:فرانفت

  انتشار : ۱۴ شهریور ۱۳۹۷               تعداد بازدید : 7015

برچسب های مهم

دیدگاه های کاربران (0)

فرا نفت اولین آموزشگاه مجازی صنعت نفت ایران

فید خبر خوان    نقشه سایت    تماس با ما